`

wszystko o liczbach pierwszych
Baza wiedzy Książka PDF Aplikacje Blog O serwisie   

Blog SPIS TREŚCI
ZAWARTOŚĆ BLOGA
Liczby Fermata - 2021-09-29

Bardzo ciekawą grupą w teorii liczb są liczby Fermata. Są to liczby w postaci:

F(n) = 22n + 1

Fermat zauważył, że liczby Fermata F0, F1, F2, F3, F4 są liczbami pierwszymi.
  • F0 = 3

  • F1 = 5

  • F2 = 17

  • F3 = 257

  • F4 = 65537

Fermat był przekonany, że wszystkie liczby Fermata są pierwsze. Nie mógł sprawdzić wartości liczby F5, ponieważ zawiera ona 10 cyfr. Musiałby mieć tablicę wszystkich liczb pierwszych z przedziału od 2 do 100000. A takiej nie posiadał. Dopiero Euler odkrył, że liczba F5 jest złożona, ponieważ jest podzielna przez liczbę 641.
  • F5 = 641 x 6700417


Chińskie twierdzenie o resztach - 2021-09-23

Dzisiaj opowiem trochę o bardo starym twierdzeniu, które było znane Chińczykom już w starożytności.

Chińskie twierdzenie o resztach
Jeżeli liczby całkowite dodatnie n1, n2,...,nk są parami względnie pierwsze, zaś liczby a1, a2,...,ak są dowolnymi liczbami całkowitymi, to istnieje taka liczba a, że:
  • a ≡ a1 ( mod n1 )

  • a ≡ a2 ( mod n2 )

  • .........................

  • a ≡ ak ( mod nk )

Chińskie twierdzenie o resztach ma wiele zastosowań. W rzeczywistości chińscy generałowie stosowali je do sprawdzania liczby swoich żołnierzy. Wydawali kolejno rozkazy:
  • w dwuszeregu zbiórka

  • w 3-szeregu zbiórka

  • w 5-szeregu zbiórka

  • w 7-szeregu zbiórka

  • w 11-szeregu zbióka

i kontynuowali w ten sposób, obliczając za każdym razem tylko resztę (tzn. liczbę żołnierzy w ostatniej niepełnej kolumnie). Zatem mamy do rozwiązania poniższy układ równań :
  • a ≡ a1 ( mod 2 )

  • a ≡ a2 ( mod 3 )

  • a ≡ a3 ( mod 5 )

  • a ≡ a4 ( mod 7 )

  • a ≡ a5 ( mod 11 )

gdzie a1, a2, a3, a4, a5 to liczba żołnierzy w ostatnich niepełnych kolumnach. Rozwiązaniem tego zadania jest liczba a, która wyznacza ilość żołnierzy w armii.

Liczy pseudopierwsze - 2021-09-21

Dzisiaj opowiem trochę o liczbach pseudopierwszych.
  • Liczby pseudopierwsze to takie liczby naturalne, które spełniają niektóre własności charakteryzujące liczby pierwsze – jednak same nie są liczbami pierwszymi.

  • Najbardziej znaną kategorią liczb pseudopierwszych są liczby pseudopierwsze Fermata, To takie liczby, które spełniają warunki małego twierdzenia Fermata.

Twierdzenie Fermata
Jeżeli p jest liczbą pierwszą to dla dowolnej liczby całkowitej a liczba ap-a jest podzielna przez p.
  • Zatem liczba p spełnia warunek Fermata jeżeli ap-1 -1 jest podzielne przez p dla pewnego a. Jeżeli p nie jest liczbą pierwszą to nazywamy ją liczbą pseudopierwszą przy podstawie a.


Co to są liczby liczby pierwsze bliźniacze? - 2021-09-21

Dzisiaj opowiem trochę o liczbach pierwszych bliźniaczych.
  • Liczbami pierwszymi bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Zatem przykładowe liczby pierwsze bliźniacze to (3,5), (5,7), (11,13) itp.

  • Do dziś nie wiadomo, czy liczb pierwszych bliźniaczych jest skończenie czy nieskończenie wiele. Wiadomo, że są one rozmieszczone bardzo rzadko.

  • Największą obecnie znaną parą liczb pierwszych bliźniaczych jest para liczb 260 497 545*26 625-1, 260 497 545*26 625+1)

  • W 1919 roku pewien matematyk wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych



    jest zbieżny.


Co to są liczby doskonałe? - 2021-09-17

Dzisiaj poruszę trochę inny temat, mianowicie będę pisał o liczbach doskonałych.
  • Liczbę nazywamy doskonałą jeżeli jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych.

  • Zatem najmniejszą liczbą doskonałą jest liczba 6. Dlaczego? Liczba 6 ma trzy dzielniki właściwe : 1,2 oraz 3 więc suma tych dzielników wynosi 6.

  • Do tej pory matematycy znaleźli tylko 39 liczb doskonałych.

  • Inne liczby doskonałe to 28, 496 oraz 8128.

  • Największą obecnie znaną liczbą doskonałą jest liczba 282589932 * ( 282589933 − 1 ) i liczy ona 49 724 095 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

  • Ciekawe jest również to, że wszystkie do tej pory odnalezione liczby doskonałe są parzyste.


Jak działa sito Eratostenesa? - 2021-09-13

Sito Eratostenesa jest algorytmem, który dla danej liczby N wyznacza wszystkie liczby pierwsze mniejsze od N. Jak to działa?. Poniżej zamieszczam algorytm:
  • Tworzymy tablicę liczb naturalnych o rozmiarze N-1 ( tak jakby wszystkie liczby naturalne od 2 do N.)

  • Następnie wybieramy pierwszą liczbę z tablicy, Jest nią liczba 2. Teraz wykreślamy wszystkie liczby od 2 do N, które są wielokrotnością liczby 2.

  • Bierzemy kolejną liczbę. Jest nią liczba 3. Postępujemy tak samo wykreślając wszystkie jej wielokrotności.

  • Proces ten powtarzamy aż dojdziemy do liczby mniejszej niż pierwiastek z N.

W tej chwili wszystkie niewykreślone liczby z tablicy są liczbami pierwszymi.


Dlaczego liczb pierwszych jest nieskończenie wiele? - 2021-09-01
  • Zastanówmy się co by było gdyby liczb pierwszych była skończona ilość. Moglibyśmy je wszystkie pomnożyć. Pojawiła by się jakaś wielka liczba - nazwijmy ją N.

  • Spróbujmy teraz dodać do tej liczby jeden. Nasza nowa liczba N+1 nie dzieli się przez żadną z liczb pierwszych, ponieważ zawsze zostaje reszta z dzielenia 1.

  • Zatem nasza nowa liczba N+1 jest kolejną liczbą pierwszą. Wniosek z tego jest taki, że mamy nieskończenie wiele liczb pierwszych.


Inicjalizacja - 2021-09-01
  • Dzień dobbry. Trafiłeś na pierwszy wpis na moim blogu o liczbach pierwszych. W tym blogu będę się dzielił z Tobą różnymi nowinkami na temat liczb pierwszych. Artykuy będą krótkie jednak będzie ich sporo - przynajmniej dwa artykuły w tygodniu. Zatem zapraszam do czytania mojego bloga i wpisywania komentarzy :)


Jeżeli chcesz zostawić komentarz to zapraszam tutaj

Wszelkie prawa zastrzeżone © Jacek Piotr Nowicki 2014-2021
Zgłoś błąd na stronie | Informacje o cookies