Strona główna Aplikacje Kontakt Matematyka w gimnazjum i liceum
Wprowadzenie
 
Wiele liczb naturalnych daje się rozłożyć na czynniki mniejsze np. 10=5*2 lub 111=3*37. Jednak istnieją liczby, które nie mogą być rozłożone w taki sposób. Takie liczby nazywamy liczbami pierwszymi.
 
Liczba pierwsza to taka liczba całkowita p większa od jedności, której jedynymi dziennikami są 1 oraz p. Każdą liczbę naturalną większą od jedności, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną.
 
Liczba 0 z definicji nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.
 
Liczba 1 z definicji nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.
 
Pierwsze 34 liczby pierwsze to : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Na czerwono zaznaczono liczby pierwsze mniejsze od 100
 
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Ilość liczb pierwszych mniejszych od N wynosi N/logN. Oto kilka przykładów : liczb pierwszych mniejszych od 1000 jest 168. Wśród wszystkich liczb 100-cyfrowych w przybliżeniu jedna na każde 300 jest liczbą pierwszą.
 
Problem liczb pierwszych polega na ich rozmieszczeniu wśród liczb naturalnych. Nikt nie opracował dotąd zadnego wzoru pozwalającego na wyszukiwanie kolejnych liczb pierwszych. Istnieja wzory wyszukiwania liczb pierwszych o określonych własciwościach, nie ma jednak wzoru, który by dla każdego argumentu generował by liczbę pierwszą.
 
 
 
Sito Eratostenesa
 
Najpopularniejszym algorytmem wyznaczania liczb pierwszych jest Sito Eratostenesa. Oto algorytm :
 
 
Gęstość liczb pierwszych
 
Teraz wprowadzamy nowe pojęcie gęstości liczb pierwszych. Niech An oznacza ilość liczb pierwszych wśród liczb naturalnych 1,2,3,...,n. Zatem : Gęstość liczb pierwszych wśród n pierwszych liczb całkowitych jest dana przez stosunek : An / n.
 
Poniżej przedstawiam tabelę zawierającą procent liczb pierwszych w danym przedziale [a,b] :
 
a b procent
2 2 100%
2 4 66,67%
2 8 57,14%
2 16 40%
2 32 35,48%
2 64 28,57%
2 128 24,41%
2 256 21,18%
2 512 18,98%
2 1024 16,81%
2 2048 15,1%
2 4096 13,77%
2 8192 12,55%
2 16384 11,60%
2 32768 10,72%
2 65536 9,98%
2 131072 9,35%
2 262144 8,77%
2 1048576 7,82%
Procent liczb pierwszych z przedziału [a,..,b]
 
 
 
Rodzaje liczb pierwszych
 
Liczby Mersenne'a Wtedy Mq jest liczbą Mersenne'a. Sprośród wszystkich wygenerowanych do tej pory liczb tego typu zaledwie 48 to liczby pierwsze.
 
 
Liczby pierwsze bliźniacze.
Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze róźniące się o 2.
Na przykład:
 
 
Liczby pierwsze czworacze
Liczby czworacze to takie liczby: p , p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą.
Na przykład:
 
 
Liczby pierwsze izolowane
Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4.
Na przykład 89, 157, 173.
 
 
Liczby Sophie Germain
Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą.
 
 
Liczby pierwsze lustrzane
To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady:
 
 
Testy pierwszości
 
Algorytm sprawdzania czy liczba p jest liczbą pierwszą?:
 
 
Wejście:
 
Wyjście:
 
Zmienne pomocnicze:
 
Algorytm:
 
 
 
Spirala Ulama
 
W matematyce spirala Ulama lub spirala liczb pierwszych to graficzna metoda pokazywania pewnych niewyjaśnionych do dziś różnic w rozkładzie liczb pierwszych, zaproponowana przez polskiego matematyka Stanisława Ulama w 1963 roku. Na kwadratowej tablicy zaczynając od 1 w środku spiralnie wypisuje się kolejne liczby naturalne. Na niektórych przekątnych liczby pierwsze częściej grupują się niż na innych. Fakt ten nie został do tej pory wyjaśniony.
 
 
Liczby od 1 do 50 w układzie spirali Ulama
 
 
Liczby pierwsze w tym samym układzie
 
 
Liczby pierwsze w Spirali Ulama w układzie 200x200
 
 
 
Hipotezy
 
Czego nie wiadomo o liczbach pierwszych:
 
Hipoteza 1
Czy istnieje liczba pierwsza między n2 a (n+1)2 dla każdego n>0?
 
Hipoteza 2
Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n2+1 gdzie n jest liczbą całkowitą?
 
Hipoteza 3
Czy każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych?
 
Hipoteza 4
Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 11,13 albo 17,19 różniących się o 2. Jest to problem bliźniaczych liczb pierwszych.
 
 
 
Ciekawostki
 
Ciekawostka 1
W 1914 roku amerykański matematyk Derrick Norman Lehmer opublikował po raz pierwszy listę wszystkich 664579 liczb pierwszych mniejszych od 10 milionów. Stworzył on tę listę za pomocą sita Eratostenesa.
 
Ciekawostka 2
Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest liczbą pierwszą.
 
Ciekawostka 3
Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π , jest liczbą pierwszą.
 
Ciekawostka 4
Liczba 73939133 nie tylko jest liczbą pierwszą, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej strony też są liczbami pierwszymi:
 
 
Największe liczby pierwsze
 
Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 48. (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: 257885161−1, która liczy sobie 17425170 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 25 stycznia 2013 roku przez Curtisa Coopera.
 
Oto lista innych wielkich liczb pierwszych :
 
Liczba pierwsza Liczba cyfr Rok odkrycia
243112609-1 1297818 2008
230402457-1 9152052 2005
23021377-1 909526 1998
22976221-1 895932 1997
21398269-1 420921 1996
21257787-1 378632 1996
2859433-1 258716 1994
2756839-1 227832 1992
2216091-1 65050 1985
2132049-1 39751 1983
2110503-1 33265 1988
286243-1 25962 1982
 
 
Największą liczbą pierwszą sprzed ery komputerów jest liczba, która nosi nazwę odkrywcy - liczba Ferriera i wynosi:
 
20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921
 
Jest to 44-cyfrowa liczba znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora w 1951r.
 
 
 
Książki o liczbach pierwszych
 
do góry
copyright © 2015 Jacek Piotr Nowicki  |  Jesteś gościem numer 33142.  |  Strona główna  |  O serwisie  |  Poprzednia wersja